x

=

a

的曲線下面積具有對數的性質：即面積從1到a加上從1到b的面積，等于從1到ab的面積。這一發現至關重要，因為它表明：雙曲線下的面積函數滿足對數的加法性質。

這一面積函數后來被確認為自然對數函數。換之，ln(x）

可以定義為：ln(x）

=

∫

(1t）

dt這一積分定義是自然對數的嚴格數學基礎，也是其“自然”之名的由來——它直接源于最簡單的有理函數

1x

的積分。

四、歐拉與自然對數的正式確立自然對數的系統化和普及，歸功于18世紀最偉大的數學家之一——萊昂哈德·歐拉（leonhard

euler）。歐拉在1748年出版的巨著《無窮小分析引論》（introductio

in

analysin

infinitorum）中，首次明確將

e

作為自然對數的底，并系統地發展了指數與對數函數的理論。

推廣自然對數的使用：他展示了

ln(x）

在微積分中的優越性，例如

ddx

ln(x）

=

1x，而其他底數的對數則需要額外的常數因子。引入符號“ln”：雖然“ln”這一符號在歐拉時代尚未完全標準化，但他對自然對數的強調為后世符號的統一奠定了基礎。

歐拉的工作使自然對數從一種特殊的對數轉變為數學分析的核心工具。他還將

e

與三角函數通過歐拉公式

e^(ix）

=

cos(x）

+

i

sin(x）

聯系起來，進一步彰顯了

e

和

ln

在數學統一性中的核心地位。

五、18世紀至19世紀：自然對數的廣泛應用隨著微積分在物理學、天文學和工程學中的廣泛應用，自然對數迅速成為科學計算的標準工具。在牛頓和萊布尼茨之后，數學家們使用

ln

來求解微分方程、計算曲線長度、分析概率分布（如正態分布的密度函數），及描述放射性衰變、人口增長等自然現象。在19世紀，隨著復分析的發展，自然對數被推廣到復數域，盡管其多值性帶來了新的挑戰，但這反而豐富了數學理論。

六、符號“ln”的標準化盡管自然對數的概念在18世紀已成熟，但符號“ln”直到19世紀末至20世紀才被廣泛采用。早期文獻中常用“log”表示自然對數，而“log”表示常用對數。隨著工程和科學中常用對數（以10為底）的普及，為避免混淆，數學家開始使用“ln”特指自然對數。

喜歡三次方根：從一至八百萬請大家收藏：(）三次方根：從一至八百萬

_1