在數學的廣闊天地中，對數函數是代數與分析領域的重要組成部分，而其中以10為底的對數函數，即常用對數，通常記作

lg，在科學、工程、經濟學乃至日常生活中都有著極為廣泛的應用。本文將系統、全面地探討lg函數的定義、性質、運算規則、圖像特征、歷史背景、實際應用以及與其他數學概念的聯系，力求從多個維度深入解析這一基礎而關鍵的數學工具。

一、基本定義與概念解析lg

是“常用對數”（mon

logarithm）的符號表示，其全稱為“以10為底的對數”。數學上，若存在正實數

和實數

，滿足：則稱

是

的以10為底的對數，記作：換句話說，lg函數是指數函數

的反函數。這一定義決定了lg函數的定義域為

，因為只有正實數才能表示為10的某次冪；其值域為全體實數

。例如：，因為

，因為

，因為

，因為

這些基本例子體現了lg函數將大范圍的數值壓縮到較小的對數尺度上的能力，這正是其在科學計算中極具價值的原因之一。

二、數學性質與運算法則lg函數具有一系列重要的數學性質，這些性質不僅便于計算，也揭示了其內在結構。

1。

基本性質零點：單調性：在定義域

上，lg函數嚴格單調遞增。即若

，則

漸近行為：當

時，當

時，連續性與可導性：lg函數在其定義域內連續且無限次可導

2。

導數與積分其中

，是自然對數的底e的10次冪的對數。該導數表明，lg函數的增長速率隨x增大而減緩。其中

，是自然對數的底e的10次冪的對數。該導數表明，lg函數的增長速率隨x增大而減緩。這一結果可通過分部積分法推導得出，體現了lg函數與自然對數

的緊密聯系。這一結果可通過分部積分法推導得出，體現了lg函數與自然對數

的緊密聯系。

3。

對數運算法則lg函數遵循對數的基本運算規律：乘積法則：商法則：冪法則：換底公式：，其中

這些法則使得復雜運算（如大數乘除、冪運算）可以通過對數轉化為加減和乘法，極大簡化了手工計算的復雜度。

三、歷史背景與科學意義常用對數的歷史可追溯至16世紀末至17世紀初，由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（john

napier）和亨利·布里格斯（henry

briggs）共同推動發展。布里格斯在納皮爾工作的基礎上，提出了以10為底的對數系統，即“布里格斯對數”，這正是現代lg函數的雛形。在沒有電子計算器和計算機的時代，科學家和工程師依賴對數表進行復雜運算。例如，計算兩個大數的乘積，只需查表得到它們的lg值，相加后再查反對數表即可得到結果。這種“將乘除轉為加減”的思想，是計算史上的一次革命，直接推動了天文學、航海學、物理學等學科的發展。直到20世紀中葉，對數尺（slide

rule）仍廣泛應用于工程計算，其原理正是基于對數的線性化特性。

四、圖像特征與函數行為函數

的圖像具有以下典型特征：定義域：經過定點