在現代數學中，自然對數函數

ln(x）（即以數學常數

e

為底的對數）是分析學、微積分、概率論、物理學和工程學中不可或缺的基本工具。其符號“ln”源自拉丁文“logarithmus

naturalis”，意為“自然對數”。然而，ln

的出現并非一蹴而就，而是經歷了漫長而復雜的數學演進過程，融合了幾何、代數、微積分的萌芽與成熟，最終在17世紀至18世紀之間逐步確立其地位。

本文將系統梳理自然對數的起源、發展、數學基礎的建立以及其在科學革命中的關鍵作用，全面展現“ln”這一數學符號背后的“出現時代”。

一、對數的誕生：從實用計算到數學抽象自然對數的出現，必須置于對數整體發展的歷史背景中理解。對數的發明，最初并非出于純粹的數學興趣，而是為了解決當時天文學、航海和商業中日益復雜的計算問題。在沒有計算器甚至沒有機械計算機的時代，乘除、乘方和開方運算極為耗時且容易出錯。

公元1614年，蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（john

napier）發表了《奇妙的對數定律說明書》（mirifici

logarithmorum

canonis

descriptio），首次系統地提出了“對數”的概念。納皮爾的初衷是通過將乘法轉化為加法，簡化計算。他所定義的“對數”并非現代意義上的對數，而是一種基于幾何運動的抽象構造。

他設想兩個點：一個以勻速運動，另一個的速度與其到終點的距離成正比。通過這種運動的類比，他建立了一種對應關系，這實際上已經隱含了自然對數的思想。值得注意的是，納皮爾的對數雖然本質上接近自然對數，但他并未明確使用常數

e，也未建立以

e

為底的對數系統。

他的對數表是基于一個接近

1e

的比率構造的，因此其對數值與現代自然對數有比例關系，但并非直接等同。幾乎在同一時期，瑞士鐘表匠兼數學家約斯特·比爾吉（joost

burgi）也獨立發展出了一種對數系統，但直到1620年才發表，晚于納皮爾，因此歷史榮譽通常歸于納皮爾。

二、常數

e

的萌芽：復利問題與自然增長自然對數的核心是數學常數

e，其值約為

2。。e

的出現并非源于對數，而是源于對“連續增長”現象的數學建模，尤其是復利計算。17世紀，隨著商業和金融的發展，復利問題成為數學家關注的焦點。

雖然這個極限在17世紀已被數學家如雅各布·伯努利（jacob

bernoulli）在研究復利時發現并計算，但他并未將其命名為

e，也未將其與對數聯系起來。

三、自然對數的數學建構：從雙曲線面積到微積分自然對數真正意義上的“出現”，是在微積分誕生之后。

17世紀后期，數學家開始研究函數

y

=

1x

的圖像——雙曲線，并嘗試計算其下的面積。1647年，比利時耶穌會士格雷戈里·德·圣文森特（grégoire

de

saint-vincent）發現，函數

y

=

1x

從

x

=

1

到

x