數值的大小關系和變化趨勢ln1。7至ln9。7的數值大小關系是隨著自變量從1。7遞增到9。7，對數值也逐漸增大，即ln1。7＜ln2。7＜ln3。7＜ln4。7＜ln5。7＜ln6。7＜ln7。7＜ln8。7＜ln9。7。這是因為自然對數函數ln(x）在定義域（0，正無窮）上是單調遞增函數。從變化趨勢上看，這些對數值的增長速率逐漸減慢，以ln1。7為，后面的每個數值與前一個數值的差值越來越小，這符合自然對數函數增長速率隨x增大而減慢的性質。

四、結合實際案例深入理解

4。1

金融學案例在金融學中，復利計算是自然對數的重要應用場景。假設某人投資元，年利率為5%，按復利計算，若想知道經過多少年本金能翻一倍，可通過自然對數求解。本息和為x2=元，代入復利公式得=x(1+5%）^t，兩邊取自然對數，ln2=ln(1+5%）^t，求出t≈ln2ln(1+5%）≈14。21年。可見，自然對數能幫助投資者快速計算出資金增長所需時間，為投資決策提供依據。

4。2

生物學案例生物學中，自然對數常用于描述生長速率。某植物種群在資源充足條件下，初始數量為100株，增長率為0。2天，可用自然對數函數n(t）=n0e^rt描述其數量變化。30天后種群數量為n(30）=100xe^(0。2x30）≈1484。1株。若要預測種群數量達到2000株所需時間，可令2000=100xe^(0。2xt），解得t≈ln20ln(1+0。2）≈35天。這表明自然對數函數能直觀反映生物種群數量隨時間變化的規律，為生物研究和生態管理提供有力支持。

五、自然對數函數的特點和用途總結

5。1

特點總結自然對數函數在數學和科學中特點鮮明。它以常數e為底數，定義域為（0，正無窮），值域是r，是單調遞增函數，增長速率隨自變量增大而減慢。其導數1x，在微積分運算中極為關鍵。不定積分為xln(x）-x，能簡化復雜積分計算。在自然界和科學中廣泛存在，如種群增長、放射性衰變等過程都能用含e的函數描述。

5。2

用途強調自然，對數函數在數學，和科學中，占據核心地位。在數學領域，它是微積分，運算的重要工具，能簡化函數求導與積分。在科學領域，物理學中理想氣體狀態方程、電路充放電，生物學中種群增長模型等，都離不開自然對數函數。它還是連接數學與現實世界的橋梁，廣泛應用于金融學、工程學等，為解決實際問題，提供有力支持，是科學研究，與工程實踐中，不可或不缺的數學工具。

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