一、引在數學的廣袤天地中，對數（logarithm）是一項極為重要且富有魅力的發明。它不僅簡化了復雜的計算，還深刻影響了科學、工程、經濟乃至我們日常生活的諸多方面。當我們提到“lg”，通常指的是以10為底的對數，即常用對數（mon

logarithm）。其數學表達為：

若

，則

（或寫作

）。

這一看似簡單的數學關系，實則蘊含著深刻的數學思想和廣泛的應用價值。本文將全面探討以10為底的對數的定義、性質、歷史背景、計算方法及其在自然科學、工程技術、社會經濟等領域的廣泛應用，展現其作為數學工具的非凡魅力。

二、歷史背景：從計算革命到科學飛躍對數的概念最早由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（john

napier）在1614年提出。他在著作《奇妙的對數定律說明書》中首次系統闡述了對數理論，其初衷是為了簡化天文學中復雜的球面三角計算。當時，天文學家需要頻繁進行大數的乘除運算，而這些運算既耗時又容易出錯。納皮爾的對數將乘除運算轉化為加減運算，極大地提高了計算效率。隨后，英國數學家亨利·布里格斯（henry

briggs）與納皮爾合作，提出了以10為底的對數系統，即我們現在所稱的“常用對數”。布里格斯編制了第一個實用的常用對數表，使得lg的計算得以普及。這一發明被譽為“延長了天文學家的壽命”，因為它將原本需要數小時甚至數天的計算縮短為幾分鐘。在沒有電子計算器和計算機的時代，對數表和計算尺是科學家和工程師的必備工具。計算尺正是基于對數原理，通過滑動標尺實現乘除、乘方、開方等運算。可以說，以10為底的對數是推動17至19世紀科學革命的重要技術支撐。

三、數學定義與基本性質定義

以10為底的對數函數定義為：其中，，因為10的任意實數次冪恒為正數。因此，lg函數的定義域為

，值域為全體實數

。基本性質

常用對數具有以下重要性質，這些性質是進行對數運算和簡化計算的基礎：乘積的對數：商的對數：冪的對數：根的對數：特殊值：（因為

）換底公式

雖然我們討論的是以10為底的對數，但換底公式使得不同底數的對數可以相互轉換：這一公式在計算機科學和高等數學中尤為重要，例如將自然對數（以e為底）轉換為常用對數進行計算。

函數圖像與特性

函數

的圖像是一條在

上單調遞增的曲線，經過點

和

。它在

時趨向于

，在

時趨向于

，但增長速度逐漸變慢。該函數是凹函數，其導數為

，表明其變化率隨x增大而減小。四、計算方法與近似技巧在沒有計算器的時代，人們依賴對數表進行計算。現代雖然可以直接使用電子設備，但理解其計算原理仍具價值。

對數表的使用

傳統對數表列出從1。00到9。99的數的lg值（尾數），并結合“首數”（整數部分）確定最終結果。例如，計算

：將256寫為

查表得

因此

近似計算技巧利用已知值估算：如

，，則

線性插值法：在對數表中，若需查找表中未列出的值，可使用相鄰值進行線性估算。