一、自然對數的基本概念與性質

自然對數（ln

x）是以，常數e（約等于2。）為底的對數函數，記作ln(x）或log(x）。其定義如下：

若e

=

x，則y

=

ln(x）。

自然對數（ln）在數學、物理、工程、經濟學等多領域都有著廣泛而重要的應用。它的核心性質之一是連續性，即在其定義域（0，+∞）內，ln(x）是連續且單調遞增的函數。這意味著當x在這個區間內變化時，ln(x）的值會隨著x的增大而逐漸增加，并且這種增加是平滑的，沒有跳躍或間斷。

另一個關鍵性質是它的導數。ln(x）的導數為1x，這一特性使得它在微積分中具有極其重要的地位。導數描述了函數在某一點的變化率，對于ln(x）來說，其導數1x表示在任意點x處，函數ln(x）的變化率與x成反比。這個性質在解決各種涉及變化率和優化問題的實際應用中非常有用。

運算性質：ln(ab）

=

ln(a）

+

ln(b），ln(ab）

=

ln(a）

-

ln(b）ln(a）

=

n

ln(a）

二、計算ln(5。00001）至ln(5。）的方法

精確計算自然對數，通常需要數值方法，常見的途徑包括：數學軟件與計算器：使用科學計算器（如wolfram

alpha、matlab、python的math庫），可直接得到高精度結果。但需注意，此近似在x較小時有效，對于較大的x（如5），需更高階展開或直接計算。但需注意，此近似在x較小時有效，對于較大的x（如5），需更高階展開或直接計算。但需注意，此近似在x較小時有效，對于較大的x（如5），需更高階展開或直接計算。數值逼近算法：如牛頓迭代法，通過迭代逼近ln(x）的值。

三、具體數值結果與分析

使用高精度，計算工具（如wolfram

alpha），可得以下結果（保留小數點后10位）：