一、泰勒公式基礎

1。1

泰勒公式原理泰勒公式是微積分中極為重要的工具。它的基本原理是利用高階多項式來近似擬合函數。對于一個足夠光滑的函數，在已知某點各階導數值的情況下，泰勒公式能以這些導數為系數，構建一個多項式來近似函數在該點鄰域的值。這一原理讓復雜函數的計算與研究變得簡單，在求解極限、證明不等式等方面都有廣泛應用，是連接函數與其局部線性近似之間的橋梁。

1。2

泰勒公式數學表達式泰勒公式的一般形式為：若在點的某鄰域內有階導數，則對任意在該鄰域內，有，其中是余項。從無窮級數角度看，若在點處可導，且導數存在，則的泰勒級數為。

二、ln(x）函數導數計算

2。1

ln(x）一階導數ln(x）的一階導數為。這是因為當自變量有微小增量時，函數值的增量為，根據導數的定義。它表示在點處，ln(x）函數值的變化率，反映了函數圖像在該點的切線斜率。

2。2

ln(x）二階導數計算要計算ln(x）的二階導數，先對求導。根據導數公式，可得ln(x）的二階導數為。計算步驟為：先將ln(x）的一階導數寫出，再將看作一個整體，對其分子1求導得0，分母求導得1，利用商的導數公式，代入計算即可得出這一結果。

三、展開點選擇及影響

3。1

選擇x=1為展開點原因選擇x=1作為ln(x）的泰勒展開點，源于其獨特的優勢。當x=1時，ln(1）=0，計算簡便，能使展開式中的常數項為0，簡化表達式。從實際應用看，x=1處在ln(x）定義域內，且該點附近函數性質穩定，便于研究與分析。在數學推導中，以x=1為展開點，可得到形式簡潔的泰勒級數，方便后續的計算與證明，這也使得x=1成為展開ln(x）的常用選擇。

3。2

其他展開點問題在其他點展開ln(x）會面臨一些問題。若展開點遠離1，展開式的收斂速度可能變慢，需要更多的項數才能達到一定的精度，導致計算量增加。如在x=2處展開，雖然也能得到泰勒級數，但其在x較小時誤差較大，適用范圍受限。不同展開點對應的泰勒級數系數不同，增加了記憶和應用的難度，且某些展開點可能使函數在該點附近的性質難以通過展開式直觀體現。

四、ln(x）泰勒級數展開

4。1

展開式構建將ln(x）各階導數代入泰勒公式，可構建其展開式。ln(x）在x=1處的各階導數為，代入泰勒公式的一般形式，得ln(x）的泰勒級數為，這是一個交錯級數。

4。2

收斂域判定對于ln(x）的泰勒級數展開式，其收斂范圍為(0，2]。這是因為ln(x）在x=1處展開，要求x-1的絕對值小于1，即0＜x＜2。當x=0時，級數各項均為0，級數收斂；當x=2時，級數變為，這是交錯級數，由萊布尼茨判別法知其收斂。故ln(x）的泰勒級數收斂域為(0，2]。