一、對數函數基礎

1。1

對數的定義在數學的廣袤天地里，對數是一種獨特的函數。若，則叫做以為底的對數，記作。對數可視為冪為自變量，指數為因變量的函數。當為常數時，作為自變量，作為因變量。在對數的世界里，底數是大于0且不為1的常量，真數則需大于0。它與指數函數互為反函數，是數學運算中簡化乘除、乘方、開方等復雜運算的重要工具。

1。2

對數的常用底數對數的底數多樣，其中以10為底的常用對數和以無理數為底的自然對數最為常見。以10為底的常用對數，記作，在工程計算等領域應用廣泛，因其底數為10，便于與十進制數系結合，簡化計算。而以為底的自然對數，記作，在自然科學中有著重要地位。是一個約等于2。的常數，許多自然現象的增長和衰減規律都與有關，自然對數在微積分等高等數學領域也發揮著重要作用。

1。3

對數函數的運算法則對數函數的運算法則豐富多樣。若、、、均大于0，且，則有，這是對數加法的運算法則，證明過程基于和，將和相乘后取對數可得。還有，即對數減法，是利用推導得出。是對數冪次法則，由得出，這些法則為對數運算提供了便利。

二、等式等價性證明

2。1

lga

-

lgb

=

1

與

lga

=

1

+

lgb

等價性證明根據對數函數的減法法則，我們知道。在中，將表示為，則有。移項可得，即。從另一個方向來看，若，將轉換為對數形式，則有。再利用對數減法法則的逆運算，得到，即。由此可以證明與是等價的，它們只是同一關系的不同表現形式。

2。2

lga

=

lg10b

推導為

lga

=