一、對數函數基礎

1。1

對數函數的定義在數學的世界里，對數函數是一種重要的基本初等函數。若（其中且），則叫做以為底的對數，記作。這里，是底數，是真數。對數函數（且）就是指數函數（且）的反函數，它的定義域是，值域為。以為底的對數函數為例，當取大于的實數時，的值隨之變化，它將指數運算中的冪轉化為函數值，為我們解決與指數相關的問題提供了新的視角和方法。

1。2

對數函數的基本性質對數函數有著諸多鮮明的性質。其定義域為，因為指數函數的值域是正實數。對數函數當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減。它還有特殊的性質，，。從圖像上看，對數函數的圖像是一條曲線，以軸為垂直漸近線，與軸相交于點，沒有軸截距。這些性質為我們研究對數函數的變化規律、比較大小以及解決實際問題提供了依據，比如在判斷函數值的增減趨勢時，可根據單調性直接得出結果。

1。3

對數函數的基本運算規則對數的基本運算規則豐富多樣。當遇到乘法時，有（，），這意味著同底對數的和等于這兩個真數積的對數。如。對于除法，有（，），即同底對數的差等于這兩個真數商的對數，像。冪運算對應的對數法則是（），表示一個數的次冪的對數等于這個數的對數的倍，比如。掌握這些規則，能讓我們更便捷地進行對數運算，簡化復雜的表達式。

二、等式證明

2。1

lga

+

lgb

=

1

的證明對數運算規則為證明lga

+

lgb

=

1提供了關鍵依據。我們從對數的定義出發，若，則。設，，根據對數恒等式，有，，即。對兩邊同時取以為底的對數，得，又因為，，所以。同理，對兩邊取以為底的對數，得。因為與互為倒數，即，所以，兩邊同時乘以，得，即，移項可得。等式成立的條件是且，且。

2。2

lgb

=

1

-

lga

的證明利用對數運算規則，證明lgb

=

1

-