一、對數基礎知識

1。1

常用對數的定義在數學領域，對數是一種重要的數學工具。以10為底的常用對數，記作lgn，其中n是大于0的實數。lgn表示的是使10的冪等于n的指數，即如果，那么。比如，因為。常用對數在科學、工程等領域應用廣泛，它能將復雜的乘法運算轉化為簡單的加法運算，簡化計算過程，是數學運算中不可或缺的一部分。

1。2

常用對數的基本性質常用對數遵循一系列基本的運算法則，極大地方便了運算。對于正數和，以及實數：乘法法則：，即將兩個數的乘積的對數轉化為這兩個數對數的和。除法法則：，即兩數商的對數等于被除數的對數減去除數的對數。冪法則：，一個數的次冪的對數等于這個數的對數的倍。

二、等式證明

2。1

對數乘法法則和指數運算法則對數的乘法法則是指，當有兩個正數和時，它們的乘積的對數等于這兩個數對數的和，即。這一定律基于對數的定義，將復雜的乘法運算轉化為簡單的加法運算，極大地簡化了計算過程。而指數運算法則涉及冪的運算，當一個數的次冪再取次冪時，結果等于這個數的次冪，即。這兩個法則在對數運算中起著至關重要的作用，它們不僅能夠讓我們更輕松地進行對數計算，還能幫助我們理解和證明各種對數等式，是解決對數問題的關鍵工具。

2。2

應用法則證明等式以為例，首先利用對數的乘法法則，將等式左側的看作是兩個數和的乘積，那么。接著，對于，由于可以看作是和的乘積，根據乘法法則，進一步得到。而根據對數的冪法則，等于。將這些結果代入原式，有。由于題目中未涉及的具體取值，所以是一個常數，也可以看作是一個常數項，因此等式可簡化為，從而證明了等式成立。同理，等其余等式也可以用類似方法證明。

三、指數與對數的聯系

3。1

指數函數和對數函數互為反函數關系指數函數（且）與對數函數（且）互為反函數。從定義域和值域來看，指數函數定義域為，值域為；而對數函數定義域為，值域為，兩者的定義域和值域正好互換。對于指數函數，給定一個值，可得到一個值；而對于對數函數，這個值就是在指數函數中的對應值。在圖像上，指數函數和對數函數的圖像關于直線對稱，這也體現了它們互為反函數的關系。

3。2

通過函數關系理解等式從函數關系角度看，可理解為先將看作一個整體，通過指數函數運算得到對應的指數，即。而等式右側可看作是對數函數運算，先將2轉化為，轉化為，相乘得，其指數為。根據對數的定義，等式左右兩邊相等，說明與在數值上是相等的，體現了指數與對數函數互為反函數的關系。

四、等式一般形式證明

4。1

數學歸納法證明首先，當時，，等式成立，這是歸納奠基。接著，假設當時等式成立，即。那么當時，。根據假設，，所以，這表明當時等式也成立，完成了歸納遞推。由此可知，對任意正整數都成立。

4。2